hidup untuk kemajuan pendidikan

  • RSS
  • Delicious
  • Facebook
  • Twitter

Twitter

Eksplorasi Pola Bilangan dan Basis Bilangan

Posted by achmad shidiq permana cspd - -

BAB II
PEMBAHASAN
2.1 Barisan
2.1.1 Barisan Aritmatika
Kita pernah betemu dengan istilah barisan pada saat kita belajar matematika sebelumnya. Sebagai contoh, bilangan-bilangan 5, 7, 9, 11, 13, 15 mendefinisikan suatu barisan. Suatu barisan dikatakan terhingga karena ada bilangan pertama dan bilangan terakhir. Kita akan lebih focus pada pembicaraan barisan tak hingga yang selanjutnya kita katakana sebagai “barisan” saja. Barisan adalah suatu kumpulan suku-suku dalam urutan tertentu. Secara formal, suatu barisan dapat didefinisikan sebagai suatu fungsi yang mempunyaidaerah asal bilangan bulat positif.
Bilangan-bilangan didalam daerah hasil suatu barisan, yang disebut suku barisan, kita batasi untuk bilangan-bilangan real. Perhatikan contoh barisan berikut ini.
(1) 1,2,3,4,5,6,….
(2) 0,5,10,15,20,25,….
(3) 2,6,10,14,18,22,….
(4) 1,11,111,1111,11111,….

Tiga barisan (a),(b), dan (c) diatas mempunyai sifat yang sama, tetapi barisan keempat berbeda sifatnya dari ke tiga lainnya. Pada barisan pertama, setiap suku, dimulai dari suku ke dua, diperoleh dari satu suku sebelumnya ditambah 1. Dengan kata lain, selisih antara dua bilangan yang berdekatan pada barisan itu adalah selalu 1. Di dalam barisan ked au, seliih antara dua bilangan yang dekatan adalah selalu 5, dan di dalam barisan ketiga selalu 4. Tetapi pada barisan ke empat, selisihnya adalah 11-1 =10, 111-11 = 100, 1111-111 = 1000, dan sebagainya. Di dalam barisan (a), (b), dan (c) di atas, selisih antara satu suku dengan suku lain yang pailing berdekatan tidak berubah sepanjang barisan itu. Barisan-barisan seperti barisan (a), (b), dan (c) di atas, dimana setiap uku yang berurutan deperoleh dari suku sebelumnyadengan menambah sutau bilangan tetentu yang tetap (disebut beda). Adalah barisan aritmatika. Dengan demikian barisan (d) bukan merukan barisan aritmatika karena selisih antara suku-suku yang berdekatan tidak tetap. Dengan kata lain, tidak ada bilangan tetap tertentu yang dapat digunakan sebagai beda.
Contoh 1:
Misalkan kita akan membangun bentuk-bentuk persegi dari batang-batnag korek api.satu persegi terbentuk oleh tepat batang korek api, dua persegi terbentuk oleh tepat 7 batang korek api, persegi erbentuk oleh tepat 10 batang korek api, dan empat persegi terbentuk oleh tepat 13 batang korek api. Tugas kita adalah mencari pola hubungan antara banyaknya peregi yang dibangun dengan banyaknya (minimum) batang korek api yang digunakan untuk membangun persegi-persegi itu.
Jawab .
Banyaknya batang korek api yang dibutuhkan untuk membangun satu buah persegi, dua buah persegi, tiga buah persegi, dan empat buah persegi berturut-turut adalah 4, 7, 10, 13,. Sebagaimana terlihat dibawah ini, setiap suku setelah suku pertama adalah lebih besar 3 dari satu suku sebelumnya.

Barisan

Beda

Jika pola ini berlanjut, tigasuku berikutnya berturut-turut adalah 16. 19. Dan 22, mengindikasikan bahwa banyaknya batang korek api pada tiga suku berikutnya secara berturut-turut 16, 19, dan 22. Kita dapat menunjukan bahwa jawaban kita benar dengan menambahkan 3 dari suatu suku setiap kita akan mencari satu suku berikutnya.
Strategi membuat tabel dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah ini. Table berikut menunjukan barisan contoh di atas. Kolom yang diberinama “suku ke” merujuk pada urutan suku didalam barisan atau banyaknya persegi yang akan dibangun. Kolom yang diberi nama bilngan merujuk pada bilangna yang sesuai dengan urutan sukunya atau banyaknya batang korek api (maksimal) yang diperlukan untuk membangun persegi-persegi. Tiga buah titik menunjukan bahwa barisan ini berlanjut dengan cara yang sama.
Suku ke Bilangan
1 4
2 7 = 4 + 1.3
3 10 = 4 + 2.3
4 13 = 4 + 3.3
. .
. .
. .
. .
. .

Jika kita mengasumsikan bahwa pola ini continue maka bilangan pada suku ke sepuluh pada contoh 1 adalah 4 + 9.3 atau 31. Secara umum bilangan pada suku ke n adalah 4 + (n-1) 3. Dengan demikian kita dapat menemukan bilangan pada sembarang suku pada contoh 1 tersebut.
Tentukan dua suku pertama barisan aritmatika yang diketahui suku ke tiga adalah 13 dan suku ke sepuluh 121.
Jawab .
Untuk memahami masalah yang lebih baik, kita coba menggunakan strategi membuat tabel. Kita membangun suatu tabel sama dengan tabel 2. Kita tidak mengetahui bilangan pada suku pertama tetapi kita mengetahui bahwa bilangan pada suku ke tiga 13 dan bilangan pada suku ke tiga puluh adalah 121. Karena barisan yang diberikan adalah barisan aritmatika, selisih antara bilangan pada satu suku dan bilangan pada satu suku berikutnya adalah tetap, atau dengan kata lain barisan ini mempunyai beda tetap. Jika beda barisan ini dilambangkan dengan d, maka suku ke empat adalah 13+d dan seterusnya, sebagaimana tampak pada tabel 3.

Suku ke Nilai
1 ?
2 ?
3 13
4 13 + d
5 13 + 2d
6 13 + 3d
.
.
.
30 13 + ?d

Untuk menentukan dua suku pertama, kita hanya membutuhkan menemukan d karena kita dapat mengurangi dengan d dari 13 untuk menemukan suku ke dua dan mengurangi lagi d dari suku ke dua untuk menemukan suku pertama.
Dari tabel di atas tampak bahwa suku ke tiga puluh adalah 13 + __d, dan kita mengetahui bahwa bilangan pada suku ke tiga puluh adalah 121. Dengan demikian, kita mempunyai persamaan, 13 + __d = 121.
Karena bilangan pada suku ke tiga adalah 13, kita memperoleh bilangan pada suku ke empat adalah 13 + d, bilangan pada suku ke lima adalah 13 + 2d dan bilangan pada suku ke enam adalah 13 + 3d, dank arena barisan ini adalah barisan aritmatika, kita tahu bahwa bilangan (koefisien) d pada setiap kasus selalu lebih kecil dari urutan sukunya. Misalnya, pada suku ke- 4 koefisien d adalah 1, suku ke- 5 koefisien d adalah 2, dan seterusnya. Dengan demikian, suku ke- 30 koefisien d adalah 27, sehingga kita memperoleh persamaan
13 + 27d = 121
27d = 108
d = 4
akhirnya kita mengetahui bahwa suku ke dua adalah 13-4, atau 9, dan suku pertamanya adalah 9-4, atau 5.

2.1.2 Barisan Geometri
Setiap bilangan pada suku-suku yang berurutan di dalam barisan geometri diperoleh dari bilangan pada satu suku sebelumnya dikalikan dengan suatu bilangan tertentu yang disebut rasio.
Tabel 4
Suku ke Nilai
1 2 = 21
2 22 = 2.2 = 22
3 23 = (2.2).2 = 23
4 24 = (2.2.2).2 = 24
5 25 = (2.2.2.2).2 = 25
. .
. .

Pada tabel 4 muncul suatu pola, yaitu bilangan pada setiap suku adalah 2 dipangkatkan dengan bilangan yang menunjukan urutan sukunya. Bilangan pada suku pertama adalah 21, bilangan pada suku ke-2 adalah 22, bilangan pada suku ke-3 adalah 23, dan seterusnya. Dengan demikian, bilangan pada suku ke-n adalah 2n.
Dari tabel di atas, kita dapat memperoleh bahwa bilangan pada suku ke n adalah 2n. Selanjutnya, perhatikan baris 2,6,18,54,..... . Bilangan pada setiap suku diperoleh dari bilangan pada satu suku sebelumnya dikalikan dengan 3, sebagaimana diperlihatkan pada tabel 5. Pada pola ini, bilangan pada suku ke-10 adalah 2.39, dan bilangan pada suku ke-n adalah 2.3n.
Tabel 5
Suku ke Nilai
1 2 = 21
2 6 = 2.3
3 18 = (2.3).3 = 2.32
4 54 = (2.32).3 = 2.33
5 81 = (2.33).3 = 2.34
. .
. .

Pendekatan yang sama dapat digunakan untuk menemukan bilangan pada suku ke-n jika bilangan pada suku pertamanya a dan rasionya r, maka bilangan pada suku ke-n adalaha.rn-1. Untuk n=1 maka kita memperoleh a.r1-1 = a.r0. jika r > 0, maka r0 = 1. Dengan demikian untuk n=1 kita peroleh a.r0 = a.1 = a. Jika kita diberi barisan geometri 3,12,48,192,... , bilangan pada suku pertama adalah 3 dan rasionya adalah 4. Dengan demikian, bilangan pada suku ke-n adalah a.rn-1 = 3.4n-1
Tabel 6
Suku ke Nilai
1 a
2 a.r1
3 a.r2
4 a.r3
5 a.r4
. .
. .
. .
n a.rn-1

Perhatikan gambar berikut ini
Gambar 1


, , , , ...............
Pada gambar 1 di atas, tampak bahwa banyaknya bulatan pada suku pertama adalah 1, pada suku ke dua adalah 4, pada suku ke tiga adalah 9 dan pada suku ke empat adalah 16. Barisan banyaknya bulatan ini akan kita tulis dalam bentuk barisan bilangan 1,4,9,16, .... dan barisan ini bukan merupakan barisan aritmatika dan juga bukan merupakan barisan geometri. Kita mengetahui bahwa bilangan-bilangan 1,4,9,16 merupakan bilangan kuadrat dan barisan ini tidak mempunyai beda yang tetap.
1 4 9 16 25
Beda pertama
3 5 7 9
3 5 7 9
Beda kedua
2 2 2
Karena beda kedua semuanya 2, beda pertama berikutnya (setelah beda 9) adalah 11. Dengan menggunakan informasi ini, kita dapat menentukan suku berikutnya pada barisan asal, yaitu 25 + 11 = 36.

2.2 Basis Bilangan
Para ahli sejarah matematika percaya bahwa satu alasan mengapa mayoritas orang di dunia menggunakan sistem berbasisi sepuluh (desimal), dengan sepuluh digit, dari 0 sampai dengan 9, karena pada umumnya orang bmempunyai jari tangan sepuluh. Andaikan orangb hanya mempunyai satu tangan dengan lima buah jari. Digit yang dapat digunakan untuk membilang hanyalah 0, 2, 3, 4, 10, di mana 10 mempresentasikan satu tangan dan tidak ada jari. Sistem satu tangan adalah sistem baerbasisi lima. Membilang di dalam sistem berbasis lima mengikuti sebagaimana ditunjukkan pada gambar 1 berikut. Kita tulis kata “lima” dalam huruf yang berukuran kecil dan ditempatkan sedikit di bawah suatu lambang bilangan yang menunjukkan bahwa bilangan yang dimaksud adalah ditulis dalam basis lima.
Gambar 1
Simbol Basis Lima Pengelompokkan Basis Lima Sistem Satu Tangan
0lima
1lima
2lima
3lima
4lima
10lima
11lima
12lima
13lima
14lima
20lima
21lima
x
xx
xxx
xxxx
xxxxx
xxxxx x
xxxxx xx
xxxxx xxx
xxxxx xxxx
xxxxx xxxxx
xxxxx xxxxx x 0 jari
1 jari
2 jari
3 jari
4 jari
1 tangan dan 0 jari
1 tangan dan 1 jari
1 tangan dan 2 jari
1 tangan dan 3 jari
1 tangan dan 4 jari
2 tangan dan 0 jari
2 tangan dan 1 jari
Bilangan apa setelah 44 lima ? Tidak ada bilanagn dua digit dalam sistem ini setelah 44 lima . Di dalam basis sepuluh, situasi yang sama terjadi pada 99. Kita gunakan 100 untuk mempresentasikan sepuluh puluhan atau seratus. Dalam sistem basis lima, kita membutuhkan suatu simbol untuk mempresentasikan lima limaan. Meneruskan analogi dengan basis sepuluh, kita gunakan 100 lima untuk mempresentasikan satu kelompok lima- limaan, 0 kelompok limaan, dan 0 satuan. Untuk membedakan dari “seratus” dalam basis sepuluh, nama untuk 100 lima adalah “ satu-nol-nol basis lima”.Bilangan 100 dan 100 lima mempunyai arti yang berbeda. Bilangan 100 berarti 1.102 + 0.101 + 0.100 , dan bilangan 100 lima mempunyai makna (1.102 + 0.101 + 0.100 )lima atau (1.52 + 0.5 1 + 0.50)sepuluh atau 25.
Contoh 1
Ubahlah 11244lima ke dalam basis sepuluh
Jawab.
11244lima = 1.54 + 1.53 + 2.52 + 4.51 + 4.50
= 1. 625 + 1. 125 + 2 . 25 + 4. 5 + 4.1
= 625 + 125 + 50 + 20 + 4
= 824
Untuk merubah 824 ke suatu bilangan berbasis lima, kita membaginya dengan bilangan lima pangkat 4, lima pangkat 3, lima pangkat 2, lima pangkat 1, dan lima pangkat 0 secara berturut – turut. Pembahasan ini dapat diilustrasikan sebagai berikut.
625 824 1 Berapa banyak kelompok 625 di dalam 824?
- 625
125 199 1 Berapa banyak kelompok 125 di dalam 199?
- 125
25 74 2 Berapa banyak kelompok 25 di dalam 74?
- 50
625 24 4 Berapa banyak kelompok 5 di dalam 24?
- 20
625 4 4 Berapa banyak satuan di dalam 4?
-4
0 Dengan demikian, 824 = 11244lima

Cara lain untuk merubah 824 menjadi basis lima adalah dengan membagi oleh 5 secara berturut – turut. Hasil baginya diletakkan tepat di bawah bilangan yang dibagi dan sisanya diletakkan di sebelah kanannya. Jawabannya dibaca dari bawah ke atas. Sekarang akan kita tunjukkan merubah 824 menjadi bilangan berbasis lima. Cara yang dibahas ini dikerjakan sebagai berikut.
5 824
5 164 4
5 32 4
5 6 2
1
Konversi dari basis dua ke basis sepuluh dan sebaliknya dapat diperoleh dengan cara yang sama seperti konversi pada basis lima ke basis sepuluh dan sebaliknya.
Contoh:
a. Ubahlah 10111dua ke basis sepuluh!
b. Ubahlah 27 ke basis dua!
Jawab:
a. 10111dua = 1.24 + 0.23 + 1.22 + 1.21 + 1.20
= 16 + 0 + 4 + 2 + 1
= 23
b. 2 27
2 13 1
2 6 1
2 3 0
1 1 Dengan demikian, 27 ekuivalen dengan 110111dua
Berbeda lagi dalam bilangan basis 12, dalam basis 12 kita mempunyai 10 digit pada basis 10, lima digit pada basis lima dan dua digit pada basis dua. Dalam basis 12 simbol baru digit setelah 9 dan setelah itu. Simbol yang dipilih adalah secara berturut-turut T dan E, sedemikian sehingga dua belas digit itu adalah 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,T,E. Dengan demikian di dalam basis dua belas kita membilang “0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,T,E,10,11,12,..,18,19,1T,1E,20,21,...,28,29,2T,2E,30,...”.
Contoh:
a. Ubahlah E2Tduabelas ke basis sepuluh!
b. Ubahlah 1277 ke basis duabelas!
Jawab:
a. E2Tduabelas = 11.122 + 2.121 + 10.20
= 11.144 + 2.12 + 10
= 1568 + 24 + 10
= 1618

b. 144 1277 8 Berapa banyak kelompok 144 di dalam 1277?
-1152
12 125 T Berapa banyak kelompok 12 di dalam 125?
-120
1 5 5 Berapa banyak satuan di dalam 5?
-5
0
Dengan demikian,
1277 = 8T5duabelas

2.2.1 Penjumlahan dan Pengurangan
Pada dasarnya sama seperti penjumlahan dan pengurangan pada bilangan basis sepuluh, kita ambil contoh bilangan basis lima.
Tabel 1
Penjumlahan (basis lima)
+ 0 1 2 3 4
0 0 1 2 3 4
1 1 2 3 4 10
2 2 3 4 10 11
3 3 4 10 11 12
4 4 10 11 12 13
Untuk menyelesaikan masalah penjumlahan pada basis lima dapat digunakan beberapa cara:
1) Menggunakan benda-benda konkrit
2) Menggunakan pengantar algoritma
3) Menggunakan algoritma biasa
Untuk menyelesaikan pengurangan, kita dapat memanfaatkan tabel satu karena pengurangan adalah balikan dari penjumlahan. Untuk menyelesaikan penjumlahan atau pengurangan seringkali kita harus menggunakan “pengelompokan kembali” atau regrouping. Sebagai contoh, kita ingin menyelesaikan 32lima – 14lima
Cara 1
Langkah pertama, siapkan 3 buah batang limaan dan 2 buah batang satuan. Langkah kedua, tukar satu batang limaan dengan lima batang satuan; sehingga kita mempunyai 2 batang limaan dan 7 batang satuan. Langkah berikutnya, singkirkan 1 batang limaan dan 4 batang satuan. Dengan demikian batang-batang yang tersisa adalah 1 batang limaan dan 3 batang satuan. Hal ini mempresentasikan 32lima – 14lima = 13lima
Cara 2
Limaan Satuan
3 2

1 4 -


Cara 3
21
32lima
14lima +
31lima

2.2.2 Perkalian dan Pembagian
Pada dasarnya sama menggunakan fakta-fakta yang ada dalam penjumlahan dan pengurangan. Fakta-fakta dasar perkalian ada dalam tabel 2.
Tabel 2
Perkalian (basis lima)
+ 0 1 2 3 4
0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4
2 0 2 4 11 13
3 0 3 11 14 22
4 0 4 13 22 31
Ada beberapa cara untuk menyelesaikan perkalian 21lima . 3lima
Limaan Satuan
2 1
x 3





Perkalian bilangan dua digit oleh dua digit dapat dikembangkan sebagaimana contoh berikut ini:
23lima
14lima x
22
130
30
200
432lima

Pembagian dapt ditampilkan dengan menggunakan fakta-fakta perkalian dan definisi pembagian sebagai contoh, 22lima : 3lima = c jika dan hanya jika c.3lima = 22lima. Dari tabel perkalian kita mengetahui bahwa c = 4lima. Gagasan tentang algoritma pembagian dapat dikembangkan dengan menggunakan pengurangan berulang, sebagaimana pada bilangan berbasis sepuluh. Contoh, 3241lima : 43lima dapat diselesaikan dengan menggunakan teknik pengurangan berulang atau dengan menggunakan algoritma biasa.
Penyelesaian:
a. 43lima 3241lima
430 - (10 . 43)lima
2311
430 - (10 . 43)lima
1331
430 - (10 . 43)lima
401
141 - (2 . 43)lima
210
141 - (2 . 43)lima
14 (34 . 43)lima

34lima
b. 43lima 3241lima
234 -
401
332 -
4

One Response so far.

  1. Unknown says:

    ieu teh tina buku naon nya met? lupa deui...

Leave a Reply